ramp

artificial ramp

determine d

(%i1)

e1 : jc + ma· d = j0 + m1· d ;

\begin{matrix} (e1) & d ma + jc = d m1 + j0 \end{matrix}

determine j1

(%i2)

e2 : j1 = jc + ma· d + m2·( 1 − d) ;

\begin{matrix} (e2) & j1 = d ma + (1 - d) m2 + jc \end{matrix}

solve for j1 and d

(%i3)

s1 : linsolve([ e1, e2],[ j1, d]) ;

\begin{matrix} (s1) & [j1 = \frac{(m2 + j0) ma + jc m2 - j0 m2 + m1 (- m2 - jc)}{ma - m1}, d = - \frac{jc - j0}{ma - m1}] \end{matrix}

(%i4)

ej1 : s1[ 1] ;

\begin{matrix} (ej1) & j1 = \frac{(m2 + j0) ma + jc m2 - j0 m2 + m1 (- m2 - jc)}{ma - m1} \end{matrix}

find the steady state j0, labeled J0

(%i5)

e3 : ev( ej1, j1 = j0) ;

\begin{matrix} (e3) & j0 = \frac{(m2 + j0) ma + jc m2 - j0 m2 + m1 (- m2 - jc)}{ma - m1} \end{matrix}

(%i6)

s2 : linsolve( e3, j0) ;

\begin{matrix} (s2) & [j0 = \frac{m2 ma + (jc - m1) m2 - jc m1}{m2 - m1}] \end{matrix}

(%i7)

J0 : rhs( s2[ 1]) ;

\begin{matrix} (J0) & \frac{m2 ma + (jc - m1) m2 - jc m1}{m2 - m1} \end{matrix}

introduce perturbations

(%i8)

e4 : ev( ej1, j1 = J0 + dj1, j0 = J0 + dj0) ;

\begin{matrix} (e4) & \frac{m2 ma + (jc - m1) m2 - jc m1}{m2 - m1} + dj1 = \frac{ma (\frac{m2 ma + (jc - m1) m2 - jc m1}{m2 - m1} + m2 + dj0) - m2 (\frac{m2 ma + (jc - m1) m2 - jc m1}{m2 - m1} + dj0) + jc m2 + m1 (- m2 - jc)}{ma - m1} \end{matrix}

solve for dj1

(%i9)

e4 : ratsimp( e4) ;

\begin{matrix} (e4) & \frac{m2 ma + (- m1 + jc + dj1) m2 + (- jc - dj1) m1}{m2 - m1} = \frac{m2 {ma}^{2} + ((- 2 m1 + jc + dj0) m2 + (- jc - dj0) m1) ma - dj0 {m2}^{2} + ({m1}^{2} + (dj0 - jc) m1) m2 + jc {m1}^{2}}{(m2 - m1) ma - m1 m2 + {m1}^{2}} \end{matrix}

(%i10)

fr : solve( e4, dj1) ;

\begin{matrix} (fr) & [dj1 = \frac{dj0 ma - dj0 m2}{ma - m1}] \end{matrix}

(%i11)

dj1 : rhs( fr[ 1]) ;

\begin{matrix} (dj1) & \frac{dj0 ma - dj0 m2}{ma - m1} \end{matrix}

(%i12)

ratio : dj1 / dj0 ;

\begin{matrix} (ratio) & \frac{dj0 ma - dj0 m2}{dj0 (ma - m1)} \end{matrix}

final result

(%i13)

ratio : ratsimp( ratio) ;

\begin{matrix} (ratio) & \frac{ma - m2}{ma - m1} \end{matrix}

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