marginagen

Zavisnost margine faze od Q faktora para polova

kako sam naslov kaže, zanima nas odziv para polova; razmatramo funkciju prenosa datu ispod, a ona odgovara sistemu praćenja (tracking system)

(%i1)

H : 1 /( 1 + s /( Q· wp) +( s / wp) ^ 2) ;

\begin{matrix} (H) & \frac{1}{\frac{s}{Q wp} + \frac{s^{2}}{{wp}^{2}} + 1} \end{matrix}

koja funkcija prenosa u otvorenoj petlji proizvodi gornju funkciju prenosa u zatvorenoj petlji?

(%i2)

T : H /( 1 − H) ;

\begin{matrix} (T) & \frac{1}{(1 - \frac{1}{\frac{s}{Q wp} + \frac{s^{2}}{{wp}^{2}} + 1}) (\frac{s}{Q wp} + \frac{s^{2}}{{wp}^{2}} + 1)} \end{matrix}

da pojednostavimo, ovo umereno neuspešno radi minreal() numeričkim putem

(%i3)

T : ratsimp( T) ;

\begin{matrix} (T) & \frac{Q {wp}^{2}}{s wp + Q s^{2}} \end{matrix}

da faktorizujemo

(%i4)

T : factor( T) ;

\begin{matrix} (T) & \frac{Q {wp}^{2}}{s (wp + Q s)} \end{matrix}

eto, zato je razmatran integrator na red sa jednopolnom funkcijom prenosa u verify.pdf

na jw osi to je:

(%i5)

Tjw : ev( T, s = %i· w) ;

\begin{matrix} (Tjw) & - \frac{%i Q {wp}^{2}}{w (wp + %i Q w)} \end{matrix}

malo ograničenja, w i Q su pozitivni

(%i6)

assume( w> 0) ;

\begin{matrix} (%o6) & [w > 0] \end{matrix}

(%i7)

assume( Q> 0) ;

\begin{matrix} (%o7) & [Q > 0] \end{matrix}

amplituda funkcije prenosa na jw osi:

(%i8)

tabs : cabs( Tjw) ;

\begin{matrix} (tabs) & \frac{Q {wp}^{2}}{w \sqrt{{wp}^{2} + Q^{2} w^{2}}} \end{matrix}

kada je ta amplituda jednaka 1 frekvencija je wc

(%i9)

swc : solve( tabs ^ 2 = 1, w) ;

\begin{matrix} (swc) & [w = - \frac{\sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1} wp}{\sqrt{2} Q}, w = \frac{\sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1} wp}{\sqrt{2} Q}, w = - \frac{%i \sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} + 1} wp}{\sqrt{2} Q}, w = \frac{%i \sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} + 1} wp}{\sqrt{2} Q}] \end{matrix}

izdvajamo pozitivno rešenje

(%i10)

wc : rhs( swc[ 2]) ;

\begin{matrix} (wc) & \frac{\sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1} wp}{\sqrt{2} Q} \end{matrix}

koliko je wc za Q=1/2?

(%i11)

float( ev( wc, Q = 1 / 2)) ;

\begin{matrix} (%o11) & 0.4858682717566458 wp \end{matrix}

da izračunamo marginu faze, prvo argument funkcije prenosa

(%i12)

tpm : ev( Tjw, w = wc) ;

\begin{matrix} (tpm) & - \frac{\sqrt{2} %i Q^{2} wp}{\sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1} (\frac{%i \sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1} wp}{\sqrt{2}} + wp)} \end{matrix}

da pojednostavimo:

(%i13)

tpm : ratsimp( tpm) ;

\begin{matrix} (tpm) & - \frac{2 %i Q^{2}}{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1} + %i \sqrt{4 Q^{4} + 1} - %i} \end{matrix}

i konačno margina faze je:

(%i14)

pm : %pi + carg( tpm) ;

\begin{matrix} (pm) & \frac{π}{2} - atan (\frac{\sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1}}{\sqrt{2}}) \end{matrix}

za Q=1/2, u stepenima

(%i15)

float( 180 / %pi· ev( pm, Q = 1 / 2)) ;

\begin{matrix} (%o15) & 76.34541525402449 \end{matrix}

za Q=1, u stepenima

(%i16)

float( 180 / %pi· ev( pm, Q = 1)) ;

\begin{matrix} (%o16) & 51.82729237298775 \end{matrix}

malo numerike da pogodimo Q faktor za marginu faze od 45 stepeni

(%i17)

float( 180 / %pi· ev( pm, Q = 1 . 189207)) ;

\begin{matrix} (%o17) & 45.00000369387353 \end{matrix}

da nađemo taj Q faktor analitički:

(%i18)

eq : pm = %pi / 4 ;

\begin{matrix} (eq) & \frac{π}{2} - atan (\frac{\sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1}}{\sqrt{2}}) = \frac{π}{4} \end{matrix}

(%i19)

eq : sqrt( sqrt( 4· Q ^ 4 + 1) − 1) / sqrt( 2) = 1 ;

\begin{matrix} (eq) & \frac{\sqrt{\sqrt{4 Q^{4} + 1} - 1}}{\sqrt{2}} = 1 \end{matrix}

(%i20)

seq : solve( eq, Q) ;

\begin{matrix} (seq) & [Q = 2^{\frac{1}{4}} %i, Q = - 2^{\frac{1}{4}}, Q = - 2^{\frac{1}{4}} %i, Q = 2^{\frac{1}{4}}] \end{matrix}

izdvojimo pozitivno realno rešenje

(%i21)

q45 : rhs( seq[ 4]) ;

\begin{matrix} (q45) & 2^{\frac{1}{4}} \end{matrix}

a to je numerički:

(%i22)

float( q45) ;

\begin{matrix} (%o22) & 1.189207115002721 \end{matrix}

da proverimo:

(%i23)

float( 180 / %pi· ev( pm, Q = q45)) ;

\begin{matrix} (%o23) & 45.0 \end{matrix}

tačno!

Created with wxMaxima.