margina

Veza margine faze i Q faktora kod tracking sistema drugog reda

tracking sistem drugog reda, wp=1, Q=1/2, optimalno prigušenje, nema overshoot

(%i1)

H : 1 /( 1 + 2· s + s ^ 2) ;

\begin{matrix} (H) & \frac{1}{s^{2} + 2 s + 1} \end{matrix}

koja je open loop funkcija prenosa koja H (gornja funkcija prenosa) pravi kada joj se zatvori jedinična "negativna" povratna sprega?

(%i2)

T : H /( 1 − H) ;

\begin{matrix} (T) & \frac{1}{(s^{2} + 2 s + 1) (1 - \frac{1}{s^{2} + 2 s + 1})} \end{matrix}

malo da sredimo, ekvivalent minreal(), samo bolji, simbolički

(%i3)

T : ratsimp( T) ;

\begin{matrix} (T) & \frac{1}{s^{2} + 2 s} \end{matrix}

da faktorizujemo, da vidimo gde su nule i polovi funkcije prenosa u otvorenoj petlji

(%i4)

T : factor( T) ;

\begin{matrix} (T) & \frac{1}{s (s + 2)} \end{matrix}

idemo na s=jw osu

(%i5)

Tjw : ev( T, s = %i· w) ;

\begin{matrix} (Tjw) & - \frac{%i}{w (%i w + 2)} \end{matrix}

da se ograničimo na pozitivne vrednosti w

(%i6)

assume( w> 0) ;

\begin{matrix} (%o6) & [w > 0] \end{matrix}

amplitudska karakteristika funkcije prenosa:

(%i7)

tabs : cabs( Tjw) ;

\begin{matrix} (tabs) & \frac{1}{w \sqrt{w^{2} + 4}} \end{matrix}

da nađemo crossover frequency, amplituda je tada 1 ili 0 dB

(%i8)

swc : solve( tabs ^ 2 = 1, w) ;

\begin{matrix} (swc) & [w = - \sqrt{\sqrt{5} - 2}, w = \sqrt{\sqrt{5} - 2}, w = - \sqrt{- \sqrt{5} - 2}, w = \sqrt{- \sqrt{5} - 2}] \end{matrix}

da nađemo pozitivno realno rešenje:

(%i9)

float( swc) ;

\begin{matrix} (%o9) & [w = - 0.4858682717566457, w = 0.4858682717566457, w = - 2.058171027271492 %i, w = 2.058171027271492 %i] \end{matrix}

to je rešenje 2

(%i10)

wc : rhs( swc[ 2]) ;

\begin{matrix} (wc) & \sqrt{\sqrt{5} - 2} \end{matrix}

koliko je to numerički?

(%i11)

float( wc) ;

\begin{matrix} (%o11) & 0.4858682717566457 \end{matrix}

kolika je margina faze? prvo funkcija prenosa na jwc:

(%i12)

tpm : ev( Tjw, w = wc) ;

\begin{matrix} (tpm) & - \frac{%i}{\sqrt{\sqrt{5} - 2} (\sqrt{\sqrt{5} - 2} %i + 2)} \end{matrix}

da sredimo malo:

(%i13)

tpm : ratsimp( tpm) ;

\begin{matrix} (tpm) & - \frac{%i}{(\sqrt{5} - 2) %i + 2 \sqrt{\sqrt{5} - 2}} \end{matrix}

i konačno da nađemo marginu faze:

(%i14)

pm : %pi + carg( tpm) ;

\begin{matrix} (pm) & \frac{π}{2} - atan (\frac{\sqrt{\sqrt{5} - 2}}{2}) \end{matrix}

a koliko je to numerički?

(%i15)

float( 180 / %pi· pm) ;

\begin{matrix} (%o15) & 76.34541525402449 \end{matrix}

ovo je margina faze tracking sistema drugog reda sa optimalnim prigušenjem Q=1/2

sada ovo treba generalizovati, a to je tema za sledeći fajl . . .

Created with wxMaxima.